P? denne siden finner du kortfattede oppsummeringer av hver forelesning, hovedsakelig med tanke p? dem som ikke kunne v?re til stede.
Mandag 18/8:
I f?rste time gav jeg endel praktisk informasjon om undervisningen og kursopplegget for?vrig. Jeg gav ogs? en kort innf?ring om hvilke temaer kurset tar opp og hensikten med kurset. I annen time begynte jeg p? seksjon 3.1, gav formell definisjon av komplekse tall og forklarte hvordan vi adderer og multipliserer komplekse tall. Onsdag 10.15-12 vil jeg gj?re meg ferdig med 3.1 og begynne p? 3.2. I plenumstiden vil jeg snakke om polynomdivisjon 1.5. F?r jeg tid til overs fortsetter jeg med 3.2.
Onsdag 20/8 (og torsdag 21/8)
Sophus Lie forelesningen:Jeg forsatte med 3.1 og forklarte divisjon og komplekskonjugering av komplekse tall.
Jeg regnet eksempler p? dette.
Jeg begynte s? p? 3.2, forklarte hvordan vi kan oppfatte de komplekse tall som punkter eller vektorer i planet. Jeg forklarte s? begrepene modulus og argument av komplekse tall. Jeg regnet eksempler p? hvordan vi finner modulus og argument av komplekse tall
p? formen a+bi. Forsetter med 3.2 og 3.3 p? mandag 25..
I plenumsregnetiden snakket jeg om polynomdivisjon. Denne forelesningen gjentok jeg torsdag 21/8.
Mandag 25/8:
Jeg avsluttet 3.2 og begynte p? 3.3 om kompleks eksponential funksjon. Jeg kommer til ? snakke litt mer om dette p? onsdag (10.15-12) f?r jeg g?r over p? 3.4.
I plenumstiden onsdag (og torsdag ) snakker jeg om algebraens fundamental teorem (3.5) og deretter om komplettheten av de reelle tall (2.3)
Onsdag 27/8:
Jeg avsluttet kapittelet om kompleks eksponential funksjon (3.3) og gikk s? over p? 3.4. Dette ble jeg nesten ferdig med p? forelesningen 10.15-12.
I plenumstiden onsdag (og torsdag 28/8) avsluttet jeg 3.4 ved ? l?se et par komplekse 2. gradslikninger. Jeg gikk s? over p? 3.5 om algebraens fundamental teorem. Jeg ble ferdig med dette, men rakk ikke ? si noe om 2.3, kompletthetsprinsippet for de reelle tall.
Mandag 1/9:
Jeg snakket f?rst litt om 2.3 (som ikke er pensum, men n?dvendig bakgrunn for blant annet stoffet i 4.3 og 5.2). Jeg begynte s? p? 4.3. Onsdag innleder jeg med ett avsluttende eksempel om konvergens av en f?lge. Jeg g?r s? over p? 5.1 og 5.2.
Onsdag 3/9:
Jeg avsluttet 4.3 ved ? finne grensen til en begrenset monoton f?lge.
Jeg gjennomgikk s? 5.1 og 5.2 og begynner p? 5.3 neste mandag.
Mandag 8/9:
Jeg begynte med ? gi noen anvendelser av skj?ringssetningen i eksempler. Gikk s? over p? 6.3 og snakket om begrensete funksjoner og viste at kontinuerlige begrensete funksjoner p? lukkede begrensete intervaller er begrenset (5.3.2), jeg viste s? at slike funksjoner ogs? har maksimums og minimuspunkter (5.3.4). Jeg gav endel eksempler
for ? belyse forutsetninger og konklusjoner i disse teoremene. Jeg gikk over p? 5.4, forklarte grensebegrepet refererte setninger om grenser og gav noen f? eksempler.
Fortsetter med 5.4 onsdag 10/9
Onsdag 10/9:
Gjentok definisjon av grenser og sa litt om forbindelse mellom grense-definsjon og kontinuitet. Forklarte s? hva ensidige grenser er. Regnet noen eksempler der jeg brukte dette og dr?ftet dette i forhold til kontinuitet. Jeg s? s? p? grenser n?r variablen gikk mot pluss og minus uendelig samt hva det vil si at grensen av en funksjon "er" uendelig. Regnet noen eksempler p? alt dette. Tilslutt gikk jeg over p? derivsjon (6.1)
gav definisjonen og minte om de viktigste derivasjonsreglene.
Mandag 15/9:
Jeg begynte med ? formulere kjerneregel og regnet s? endel eksempler der jeg deriverte funksjoner.Jeg viste s? en setning 6.1.7 i boka og fra denne viste jeg at deriverbare funksjoner er kontinuerlige og beviste kjerne regel. Sa s? litt om logaritmisk derivasjon og regnet eksempler p? dette. Jeg gikk s? over p? 6.2, viste Rolles teorem og middelverdisetningen og beviste sammenheng mellom fortegn av den deriverte og vekst-egenskapene til en funksjon( Korollar 6.2.5). Regnet et par eksempler der jeg brukte dette. Begynner onsdag p? seksjon 6.3.
Onsdag 17/9:
Foreleste 6.3. Jeg formulerte og beviste L?Hopitals regel for 0/0 utrykk
(beviste ikke Cauchys middelverdisetning). Jeg formulerte ogs? L?Hopitals regel for
∞/∞ utrykk. Jeg regnet endel eksempler p? grenser ved ? bruke L?Hopital. Begynte s? vidt p? 6.4 og gjennomgikk 6.4.2.
Mandag 22/9:
Jeg gjennomgikk resten av 6.4 med endel eksempler p? kurvedr?ting. Jeg hoppet over 6.5
(som er pensum men selvstudium)
Jeg regnet s? to eksempler ett fra 7.1 og et fra 7.2.
Onsdag 25/9;
Jeg tok to nye eksempler fra stoffet i 7.1 og 7.2. Jeg gjennomgikk s? hele seksjon 7.4 om omvendte funksjoner. Jeg hopper over 7.5 (pensum men selvstudium)
og vi p? mandag gjennomg? 7.6 f?r jeg begynner p? kapittel 8.
Mandag 29/9:
Jeg gjennomgikk f?rst 7.6, definerte arcusfunksjonene og fant formler for deres deriverte. S? begynte jeg p? kapittel 8. Jeg gikk mer eller mindre direkte p? 8.2.
Jeg definerte ?vre og nedre trappesummer og forklarte hvordan disse kunne oppfattes som arealer av rektangler som enten omsluttet omr?det under en graf eller som var omsluttet av dette omr?det. Jeg gav s? definisjonen av det bestemte integralet av en begrenset funksjon p? et lukket begrenset interval. Jeg gav eksempler p? funksjoner som ikke var integrerbare, og viste s? at monotone funksjoner alltid var integrerbare og regnet ut intergralet av en monoton funksjon direkte fra definisjonen i et eksempel.
Onsdag 1/10:
Jeg brukte hele tiden til ? gjennomg? midttermineksamen fra i fjor.
Mandag 13/10:
Jeg repeterte kort definisjonen av det bestemte integralet og begynte s? p? 8.3.
Jeg forklarte innholdet i 8.3.1, men droppet beviset.
Jeg beviste s? 8.3.3 slik det st?r i boka og korollar 8.3.4 utifra 8.3.3. Jeg gav et eksempel p? utregning av et bestemt integral. Jeg gjennomgikk ogs? eksempel 8.3.6
(volumformelen for kula). Jeg gjennomgikk s? 8.4. Definerte det ubestemt integral. forklarte setning 8.4.3 og 8.4.4. Jeg regnet tilslutt et par eksempler der jeg brukte 8.4.4. P? onsdag vil jeg si litt om Riemannsummer og Riemannintegral f?r jeg g?r videre i pensum.
Onsdag 15/10
Jeg fortalte om innholdet i 8.5. Dette er ikke eksamens relevant stoff i seg selv, men vi trenger dette for spesielt bedre ? forklare formlene i 8.6. Jeg gjennomgikk 8.6.
Jeg begynte med ? definere areal under en graf og mellom to grafer. Regnet s? et eksempel p? dette. Forklare s? volumformelen for legemet vi f?r n?r en graf y=f(x) dreies rundt x-aksen. Regnet et eksempel p? slikt volum. Forklarte s? volumformelen for omdreingslegemet som oppst?r n?r et omr?de under en graf dreies rundt y-aksen.
Jeg kommenterte s? buelengdeformelen for en graf, og regnet et eksempel p? slik buelengde. Jeg sa ingenting om integralformelen for arbeid (les selv !), men gikk over p? 9.1 forklarte formelen for delvis integrasjon og regnet et eksempel p? dette. Fortsetter med dette mandag f?r jeg begynner p? 9.2.
Mandag 20/10
Jeg gjentok formelen for delvis integrasjon og gjorde s? ikke annet enn ? regne ganske mange eksempler p? integraler som kan l?ses ved denne metoden (i enkelte eksempler m?tte vi bruke delvis integrasjon mange ganger og noen ganger kom vi frem til en likning der det ubestemte integralet vi skulle finne var ? oppfatte som "ukjent" i denne likningen og vi l?ste s? likningen.)
Jeg gikk s? over til 9.2 og spesielt forklarte og beviste 9.2.3. Regnet s? noen eksempler (der jeg brukte setningen).
Onsdag 22/10
Jeg beviste s? setning 9.2.7 og regnet et par eksempler p? bestemte integraler som jeg l?ste ved substitusjon. Gikk s? over p? 9.3. Startet med et par enkle eksempler for s? ? forklare generelt hvordan en rasjonal funksjon kan skrives som en sum av delbr?ker.
Gav eksempler p? dette. Tilslutt regnet jeg et integral ved delbr?ksoppspaltning og forklarte hvordan de forskjellige typer integraler som oppst?r skal l?ses. Her st?r litt igjen til mandag, jeg har enn? ikke sagt noe om integraler der nevneren er 2. gradspolynom uten reelle r?tter i en h?yere potens enn en . Sier litt om dette mandag samt regner et eksempel til f?r jeg g?r l?s p? 9.5.
Mandag 27/10
Jeg forklarte noks? skissemessig hvordan en l?ser integraler der telleren er et f?rstegradspolynom og nevneren er 2. gradspolynom uten reelle r?tter i en h?yere potens enn en . Jeg regnet s? et avsluttende eksempel p? et integral av en rasjonal funksjon ved delbr?ksoppspaltning. Jeg begynte s? p? 9.5 om uegentlige integraler. her fulgte jeg boka og foreleste til og med sammenlikningskriteriet 9.5.11
Onsdag 29/10
Jeg avsluttet 9.5 (og pensum fra Kalkulus) med ? snakke om grensesammenlikningskriteriet ().5.13) og brukte dette i et eksempel.
Jeg begynte s? p? Lundstr?ms hefte "Flevariabel analyse med line?r algebra"
(FALA). (Heftet kan lastes ned fra nettet, lenke ligger under pensum). Jeg sa litt f?rst om vektorregning i R^2 og R^3 og forklarte s? hvordan dette kan generaliseres til R^n.
Jeg gjennomgikk Pythagoras i R^n, forklarte hvordan en definere vinkler og ortogonalitet i R^n og regnet ut projeksjon av en vektor ned p? en annen (1.2.2).
Jeg beviste Schwarz ulikhet. P? mandag skal jeg si litt om linjer i R^n, f?r jeg begynner ? snakke om vektorprodukt (kryssprodukt) i R^3 (1.4).
Mandag 3/11
Begynte med ? bevise trekant ulikhet i R^n og forklarte s? hva vi mener med linjer
og parameter fremstilling av linjer i R^n. Jeg sa til slutt litt om komplekse n-tuppler
og hvordan vi definerer skalarprodukt av slike (1.3). Jeg gikk s? over p? 1.4.
Jeg definerte vektorprodukt i R^3. Regnet noen eksempler og forklarte hvilke egenskaper vektorproduktet hadde. Jeg forklarte hvordan lengden av vektorproduktet
er lik volumet av parallellepiped utspent av vektorene og ogs? hvordan en kan regne ut
volum av pyramider. Jeg forklarte s? h?yreh?ndsregelen.
Tilslutt repeterte jeg litt fra videreg?ende om likning for plan i rommet.
Onsdag 5/11
Forklarte s? hvordan vi finne normal vektor til plan gjennom tre punkter ved hjelp av vektorprodukt. Jeg regnet s? et eksemplel. Gikk over p? 1.5 og forklarte hva matriser er hvordan vi legger dem sammen, multipliserer med skalar og forklarte begrepet transponert matrise. Forklarte enkle regneregler for disse operasjonene. Forklarte
s? eksempel 3 p? side 36 og brukte dette som motivasjon for definisjon av produkt av mxn matrise og en n-s?ylevektor. Definerte s? multiplikasjon av mxn og nxk matrise (gikk alts? over p? 1.6) regnet eksempler. Avslutter 1.6 mandag 10/11 og g?r over p? 1.7.
Mandag 10/11
Jeg gav s? en forklaring p? hvorfor vi definerte matrisemultiplikasjon som vi gj?r.
Definerer vi en transformasjon fra R^n til R^m tilordnet en mxn matrise ved ? ta produkt av matrisen og en s?yle vektor i R^n, s? blir sammensetningen av to slike transformasjoner tilordnet produktet av matrisene. Jeg definerte s? norm av en matrise og beviste setning 1.6.3. Jeg gjennomgikk s? 1.7. Her fulgte jeg heftet, men valgte andre eksempler. Jeg begynte s? p? 1.8 og snakket litt om 2.2 determinanter pg viste at tallverdien til en 2x2 determinant er arealet av parallellogrammet utspent av radene, og at fortegnet f?lger orienteringen til radene.
Onsdag 12/11
Jeg gjentok det jeg sa mandag om 2x2 matriser og avsluttet dette ved ? gjennomg? 18.3. Definerte 3x3 matriser, regnet et eksempel p? dette og viste 1.8.4. Jeg orientering av 3 vektorer i R^3 og forklarte innholdet i 1.8.5. Jeg forklarte s? hvordan vi (induktivt) kan definere determinant av en nxn matrise, Jeg gjennomgikk s? noks? raskt 2.1 og begynte s? p? 2.2 og formulerte hva vi mener med kontinuitet av en funksjon fra R^n til R^m.
Mandag 17/11
Jeg begynte med ? gjenta definisjonene av kontinuitet for funksjoner av flere variable.
Kommenterte (uten bevis) setning 2.2.2 og setning 2.2.3, men beviste setning 2.2.4.
Forklarte s? hvordan en kan vise at vektorvaluerte funksjoner av flere variable satt sammen av element?re en-variable funksjoner er kontinuerlige. Gjennomgikk s? eksempel 2 (side 82). Gikk s? gjennom 2.3 omtrent som i heftet. Regnet to eksempler p? grenseverdier. Begynte p? 2.4. Forklarte begrepene retningsderivert og partiellderivasjon. Regnet ut de partielt deriverte til en funksjon av to variable. Definerte gradientvektoren og avsluttet med ? si at vi (for pene funksjoner) kan regne ut retningsderivert langs en vektor ved ? prikke vektoren med gradienten. Jeg begynner p? en begrunnelse for dette p? onsdag (dvs. begynner p? side 92) H?per ? bli helt ferdig med pensum da, slik at jeg kan regne gamle eksamensoppgaver siste uka.
Onsdag 19/11
Jeg gjennomgikk resten av 2.4 og 2.5 der jeg fulgte heftet til Tom noks? n?ye men droppet alle bevis bortsett fra at jeg i utledningen p? side 92 forutsatte at de partielt deriverte eksisterte i oegn om a og var kontinuerlige i a . Droppet eksempel p? side 97/98. Gjennomgikk 9.5 men droppet bevis. Sa litt om 9.6. Stoppet f?r 2.6.4 s? dere trenger ikke regne dette som pensum. Mandag og onsdag g?r jeg gjennom konteeksamen fra iforfjor og fjor (dvs. fra januar 2007 og 2008).